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<!DOCTYPE html>

<title>Fixpunktsatz</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fixpunktsatz</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Ein <b>Fixpunktsatz</b> ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von <a href="Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkten</a> einer Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/773c98269d8a3c82725e5cb650243666484b528b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.887ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to X}" loading="lazy"></span> garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}">

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,=\,x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,=\,x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/873afa49f2bf34ab968b4bde2504fa0e63a333b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,=\,x}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Überblick"><span id=".C3.9Cberblick"></span>Überblick</h2></div>

<p>In vielen <a href="Teilgebiet_der_Mathematik" class="mw-redirect" title="Teilgebiet der Mathematik">Teilgebieten der Mathematik</a> sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">Fixpunktsatz von Banach</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Mit dessen Hilfe kann der <a href="Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Satz von Picard-Lindelöf">Satz von Picard-Lindelöf</a> bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlicher Differentialgleichungen</a> sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.<sup id="cite_ref-:0_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Der <a href="Fixpunktsatz_von_Schauder" title="Fixpunktsatz von Schauder">Fixpunktsatz von Schauder</a> ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den <a href="Satz_von_Peano" title="Satz von Peano">Satz von Peano</a> herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis.<sup id="cite_ref-:0_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-:0-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare <a href="Kompakter_Operator" title="Kompakter Operator">kompakte Operatoren</a> formulieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liste_von_Fixpunktsätzen"><span id="Liste_von_Fixpunkts.C3.A4tzen"></span>Liste von Fixpunktsätzen</h2></div>

<p>Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Analysis_und_Funktionalanalysis">Analysis und Funktionalanalysis</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">Fixpunktsatz von Banach</a></li>

<li><a href="Nichtexpansive_Abbildung#Fixpunktsatz_von_Browder-Göhde-Kirk" title="Nichtexpansive Abbildung">Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_f%C3%BCr_ganze_Funktionen" title="Fixpunktsatz für ganze Funktionen">Fixpunktsatz für ganze Funktionen</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_von_Kakutani" title="Fixpunktsatz von Kakutani">Fixpunktsatz von Kakutani</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_von_Krasnoselski" title="Fixpunktsatz von Krasnoselski">Fixpunktsatz von Krasnoselski</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_von_Ryll-Nardzewski" title="Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski">Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_von_Schauder" title="Fixpunktsatz von Schauder">Fixpunktsatz von Schauder</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_von_Weissinger" title="Fixpunktsatz von Weissinger">Fixpunktsatz von Weissinger</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</h3></div>

<ul><li><a href="Atiyah-Bott-Fixpunktsatz" title="Atiyah-Bott-Fixpunktsatz">Atiyah-Bott-Fixpunktsatz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gruppentheorie">Gruppentheorie</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_(Endliche_Gruppen)" title="Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)">Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)</a></li>

<li><a href="Borelscher_Fixpunktsatz" class="mw-redirect" title="Borelscher Fixpunktsatz">Borelscher Fixpunktsatz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verbandstheorie">Verbandstheorie</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_von_Tarski_und_Knaster" title="Fixpunktsatz von Tarski und Knaster">Fixpunktsatz von Tarski und Knaster</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Logik">Logik</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_von_G%C3%B6del" class="mw-redirect" title="Fixpunktsatz von Gödel">Fixpunktsatz von Gödel</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Topologie">Topologie</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_von_Brouwer" title="Fixpunktsatz von Brouwer">Fixpunktsatz von Brouwer</a></li>

<li><a href="Fixpunktsatz_von_Lefschetz" title="Fixpunktsatz von Lefschetz">Fixpunktsatz von Lefschetz</a></li>

<li><a href="Leray-Schauder-Alternative" title="Leray-Schauder-Alternative">Leray-Schauder-Alternative</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Informatik">Informatik</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_von_Kleene" class="mw-redirect" title="Fixpunktsatz von Kleene">Fixpunktsatz von Kleene</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kategorientheorie">Kategorientheorie</h3></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz_von_Lawvere" title="Fixpunktsatz von Lawvere">Fixpunktsatz von Lawvere</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Saleh Almezel, Qamrul Hasan Ansari, Mohamed Amine Khamsi (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Topics in Fixed Point Theory</cite>. Springer International Publishing, Cham 2014, ISBN 978-3-319-01585-9, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-319-01586-6">10.1007/978-3-319-01586-6</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.btitle=Topics+in+Fixed+Point+Theory&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-319-01586-6&rft.genre=book&rft.isbn=9783319015859&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing" style="display:none"> </span></li>

<li>Klaus Deimling: <cite style="font-style:italic">Nonlinear Functional Analysis</cite>. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1985, ISBN 978-3-662-00549-1, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-00547-7">10.1007/978-3-662-00547-7</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.au=Klaus+Deimling&rft.btitle=Nonlinear+Functional+Analysis&rft.date=1985&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-00547-7&rft.genre=book&rft.isbn=9783662005491&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg" style="display:none"> </span></li>

<li>Vittorino Pata: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Fixed Point Theorems and Applications</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">UNITEXT</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>116</span>). Springer International Publishing, Cham 2019, ISBN 978-3-03019669-1, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-030-19670-7">10.1007/978-3-030-19670-7</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.au=Vittorino+Pata&rft.btitle=Fixed+Point+Theorems+and+Applications&rft.date=2019&rft.doi=10.1007%2F978-3-030-19670-7&rft.genre=book&rft.isbn=9783030196691&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.series=UNITEXT" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite> (= <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>). 8., vollständig überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-55407-4">10.1007/978-3-662-55407-4</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-55407-4&rft.edition=8.%2C+vollst%C3%A4ndig+%C3%BCberarbeitete+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783662554067&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer+Spektrum&rft.series=Springer-Lehrbuch" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Eberhard_Zeidler_(Mathematiker)" title="Eberhard Zeidler (Mathematiker)">Eberhard Zeidler</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Applied Functional Analysis</cite> (= <a href="Jerrold_Marsden" title="Jerrold Marsden">Jerrold Marsden</a>, L. Sirovich [Hrsg.]: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Applied Mathematical Sciences</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>108</span>). Springer New York, New York, NY 1995, ISBN 978-1-4612-6910-6, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0815-0">10.1007/978-1-4612-0815-0</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.au=Eberhard+Zeidler&rft.btitle=Applied+Functional+Analysis&rft.date=1995&rft.doi=10.1007%2F978-1-4612-0815-0&rft.genre=book&rft.isbn=9781461269106&rft.place=New+York%2C+NY&rft.pub=Springer+New+York&rft.series=Applied+Mathematical+Sciences" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite> (= <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-55407-4">10.1007/978-3-662-55407-4</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-55407-4">springer.com</a> [abgerufen am 6. November 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-55407-4&rft.genre=book&rft.isbn=9783662554067&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg&rft.series=Springer-Lehrbuch" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Stefan_Banach" title="Stefan Banach">Stefan Banach</a>: <cite style="font-style:italic">Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Fundamenta Mathematicae</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>3</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, 1922, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220016-2736%22&key=cql">0016-2736</a></span>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>133–181</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://eudml.org/doc/213289">eudml.org</a> [abgerufen am 6. November 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.atitle=Sur+les+op%C3%A9rations+dans+les+ensembles+abstraits+et+leur+application+aux+%C3%A9quations+int%C3%A9grales&rft.au=Stefan+Banach&rft.date=1922&rft.genre=journal&rft.issn=0016-2736&rft.issue=1&rft.jtitle=Fundamenta+Mathematicae&rft.pages=133-181&rft.volume=3" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-:0-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-:0_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-:0_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Michael Růžička: <cite style="font-style:italic">Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung</cite>. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-62190-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-62191-2">10.1007/978-3-662-62191-2</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-62191-2">springer.com</a> [abgerufen am 6. November 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fixpunktsatz&rft.au=Michael+R%C5%AF%C5%BEi%C4%8Dka&rft.btitle=Nichtlineare+Funktionalanalysis%3A+Eine+Einf%C3%BChrung&rft.date=2020&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-62191-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783662621905&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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